Pubblicato da: Galliolus | martedì, 17 febbraio 2009

Di angurie, uova e altri gravi

In occasione del 445° compleanno di Galileo Galilei, Linceo — così si firmava — provo a dare un seguito a questo vecchio articolo, che rappresenta a mio modesto parere la punta più alta della mia produzione. Così potrò dire di scrivere almeno un pezzo interessante all’anno.

In quell’articolo si dice che Galileo dimostrò che corpi di massa diversa cadono allo stesso modo, nonostante l’intuizione e la fisica aristotelica dicano il contrario. Vorrei ora fornirvi quella dimostrazione.

Innanzitutto, precisiamo meglio il significato di cadono allo stesso modo: diciamo che impiegano lo stesso tempo a cadere dalla stessa altezza. Per semplicità possiamo supporre che i corpi vengano lasciati cadere, con velocità iniziale zero; nulla cambia però se si suppone che i corpi vengano lanciati — verso l’alto o verso il basso — con la stessa velocità iniziale. Si noti che non si parlerà qui del tipo di moto, che per altri motivi sappiamo essere uniformemente accelerato: questa dimostrazione funziona per qualsiasi moto. Nell’ipotesi — aristotelica ed erronea — che il moto sia uniforme, l’eguaglianza dei tempi di caduta implica l’eguaglianza delle velocità (costanti); nell’ipotesi del moto uniformemente accelerato, l’eguaglianza dei tempi di caduta implica l’eguaglianza delle due velocità (variabili) in ogni istante, e quindi anche l’eguaglianza delle accelerazioni. Infine, ricordiamo che stiamo parlando di caduta libera: la caduta avviene per effetto della gravità e solo della gravità.

Supponiamo che sia vera l’ipotesi aristotelica. Dal momento che i corpi pesanti sono attratti dalla Terra più dei corpi leggeri, possiamo concludere che:

(1) Di due corpi che cadono dalla stessa altezza, quello più leggero impiega un tempo maggiore.

Dimostrerò che tale ipotesi è assurda, seguendo la strada tracciata dal grande pisano.

Consideriamo due corpi di massa diversa: per fissare le idee, un uovo ed un’anguria. Essendo l’anguria più pesante dell’uovo, se Aristotele ha ragione deve cadere a terra in un tempo più breve rispetto all’uovo. L’idea di Galileo è semplice e geniale: prendiamo un po’ di SuperColla e attacchiamo insieme l’uovo e l’anguria. Otteniamo un corpo molto strano — possiamo chiamarlo anguovo, se siete d’accordo —, del quale esamineremo le proprietà gravitazionali. Quando un anguovo cade liberamente, l’anguria che è in lui sarebbe in grado di impiegare un certo tempo, ma è purtroppo frenata dall’uovo, che invece impiega un tempo maggiore e quindi è più lento. Questa “anguria zavorrata da un uovo” impiegherà quindi a cadere un tempo maggiore rispetto quello dell’anguria da sola. Non è importante stabilire adesso di quanto maggiore: dipenderà probabilmente dal rapporto tra la massa dell’uovo e quello dell’anguria, o da altri fattori che non so. L’importante è che siamo d’accordo su un fatto: un corpo veloce incollato ad un corpo lento diventa un po’ meno veloce.

Un altro punto di vista: consideriamo l’anguovo rispetto all’uovo. Abbiamo un uovo (lento) incollato ad un’anguria (veloce): il risultato sarà che l’anguovo si comporta come un uovo accelerato e quindi cade in un tempo minore di quello dell’uovo da solo.

Riassumendo: il tempo di caduta di un anguovo è maggiore di quello di un’anguria, ma minore di quello di un uovo. Proprio qui sta l’assurdo. Infatti, è evidente che un anguovo pesa più di un’anguria: esso pesa quanto un’anguria più un uovo — più un po’ di SuperColla, se volete fare i precisini —; allora, se è vera la (1), l’anguovo dovrebbe cadere a terra in un tempo minore dell’anguria. Siamo partiti ritenendo vera l’affermazione (1) e abbiamo ottenuto come conseguenza una contraddizione: allora l’affermazione (1) non può essere vera!

Dobbiamo fare quindi ipotesi alternative. L’affermazione opposta:

(2) Di due corpi che cadono dalla stessa altezza, quello più leggero impiega un tempo minore

è evidentemente contronatura. Se però vi piace la logica, potete ripetere la dimostrazione testé vista: risulterà che l’anguovo avrà sempre un tempo di caduta intermedio tra l’anguria e l’uovo, mentre dovrebbe essere il più lento di tutti.

Rimane l’ultima possibilità:

(3) Due corpi che cadono dalla stessa altezza impiegano lo stesso tempo a cadere, indipendentemente dalla loro massa.

In questo caso non c’è alcun assurdo: l’anguria e l’uovo cadono insieme, sia quando sono separati, sia quando sono incollati tra loro — anche la SuperColla cade allo stesso modo e la sua presenza non modifica il ragionamento.

A questo punto potrei mettere un bel QED e concludere, ma manca ancora la cosa più importante.

Come anticipavo nel già citato articolo, con una dimostrazione non c’è più bisogno dell’esperimento. Certo, l’esperimento è sempre utile — ad esempio, potremmo misurare il tempo di caduta in funzione dell’altezza — ma se anche vedessi due corpi di massa diversa cadere in maniera diversa, non sarei autorizzato a negare la (3). Dovrei semplicemente dire che la (3) non si può applicare, perché c’è qualche altro effetto che influenza l’esperimento: probabilmente non ho osservato un moto di caduta libera. Questo è un punto fondamentale del metodo scientifico, e se non accettiamo questo dovremmo anche accorgerci che la dimostrazione ha un punto debole, diciamo pure che si basa su un pregiudizio. C’è infatti — a rigor di logica — una ulteriore possibilità:

(4) Madre Natura se ne infischia della logica, e due corpi di massa diversa cadono secondo il capriccio degli dèi, o del caso.

Quest’ultima possibilità è esclusa a priori al momento della fondazione della scienza. Nessuno scienziato sano di mente accetterebbe tale affermazione, tantomeno uno scienziato cattolico come Galileo; questo anche se, a ben vedere, nessuno saprebbe dimostrare logicamente l’affermazione contraria.

Diciamo che è una questione di fede.

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Responses

  1. avendo il cervello glassato dai palinsesti, non c’ho capito un bel nulla.

    però, dato che ultimamente sono vagamente depressa, posso sempre fare una prova pratica: spago e la sottoscritta in volo all’unisono dall’alto della torre sette.

    devo solo trovare qualcuno che cronometri.

    ;-D

  2. Be’, se vi buttate all’unisono non c’è bisogno del cronometro…

    ;-)

  3. … ma almeno di qualcuno che stia a guardare, sì.

  4. […] Aggiornamento (11.03.2009): l’articolo prosegue idealmente qui. […]

  5. VOGLIO SAPERE QUANTO CI METTE UN ANGURIA A CADERE!!!!

  6. Caro BananePowa, innanzitutto permettiti di darti il benvenuto. Poi permettimi di ricordarti che l’eccesso di maiuscole e di punti esclamativi risultano per qualche motivo fastidiosi, a me e a molti lettori di questo blog.

    Ma non voglio evitare la tua domanda. Il tempo (t) di caduta di un’anguria (ma anche di un uovo e di qualunque oggetto per cui sia sensato trascurare l’attrito dell’aria) dipende solo dall’altezza (h) dalla quale cade, secondo la ben nota formula:

    t=\sqrt{\frac{2h}{g}}

    Nella formula, g è l’accelerazione di gravità, che sulla Terra vale con buona approssimazione 9,8 m/s2.

    Per esempio: una caduta libera da 10 m corrisponde ad un tempo di circa 1,4 s.

    Galileo non avrebbe mai scritto una formula del genere, né avrebbe usato il valore di g. Ai suoi tempi si usava ancora un linguaggio geometrico, per cui tutto quello che si poteva dire era che la quota di partenza è proporzionale al quadrato del tempo di caduta.


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